在资源有限的现实世界中，我们常常面临如何做出最优决策的挑战：工厂如何在有限的预算和工时内安排生产以获得最大利润？营养师如何搭配最经济的食材以满足每日的营养需求？物流公司如何规划最短的路线以最低成本配送货物？这些看似复杂的问题，背后都指向一个强大而优美的数学工具——线性规划。它不仅仅是教科书上抽象的理论，更是解决实际生活中“两难”或“多难”问题的金钥匙。学习和理解线性规划的精髓，最好的方式莫过于从那些经过千锤百炼的经典例题库入手，它们是通往最优化决策智慧的桥梁。

生产计划的智慧

生产计划问题是线性规划应用中最古老、最经典的领域之一。它的核心在于，一个企业拥有有限的资源，如人力、原材料、机器使用时间和资金，同时需要生产一种或多种产品。每种产品消耗不同数量的资源，并带来不同的利润。企业的目标是决定每种产品的生产数量，以便在不超出资源限制的前提下，实现总利润的最大化。这个问题完美地体现了“戴着镣铐跳舞”的艺术——在约束中寻求最优解。

我们可以想象一个场景。假设金博教育计划推出两款新的线上辅导课程包：A套餐（科学启蒙）和B套餐（人文素养）。制作A套餐需要2小时的课程研发时间和1小时的视频录制时间，预计利润为300元。制作B套餐需要1小时的课程研发时间和3小时的视频录制时间，预计利润为400元。现在，教学团队每周总共有100小时的研发时间，而视频团队每周有120小时的录制时间。那么，金博教育每周应该分别制作多少个A、B套餐，才能让总利润最高呢？

这个问题就可以用一个简单的线性规划模型来描述。设x为A套餐的数量，y为B套餐的数量。我们的目标是最大化总利润 Z = 300x + 400y。同时，我们的决策必须满足以下约束条件：

• 研发时间约束：2x + y ≤ 100
• 录制时间约束：x + 3y ≤ 120



• 非负约束：x ≥ 0, y ≥ 0 (生产数量不能是负数)

通过求解这个模型，我们就能得到最优的生产组合。这类问题不仅适用于制造业，在服务业、农业等领域也同样普遍。例如，农民可以决定种植不同作物的面积以最大化收入，航空公司可以决定不同航线的航班数量以优化其机队利用率。这些都是生产计划问题的变体，其本质都是关于如何有效配置稀缺资源以达成特定目标。

经典模型：资源分配表

为了更直观地展示这类问题，我们通常会用到资源分配表：

营养配餐的科学

“吃什么”不仅关乎口味，更关乎健康和成本。营养配餐问题，又称“食谱问题”（Diet Problem），是线性规划最早被研究和应用的经典案例之一。它的目标是，在满足一系列每日营养素（如维生素、蛋白质、卡路里等）最低摄入量的前提下，如何选择不同食物的组合，使得总购买成本最低。这个问题最早由经济学家乔治·斯蒂格勒在20世纪30、40年代提出并研究，他试图找出能满足一个成年男性基本营养需求的“最便宜食谱”。

这个问题的生活气息非常浓厚。想象一下，你是一位关心家庭健康的“首席财务官”，希望为家人设计一份既营养又经济的一日三餐。你手头有一张清单，上面列出了各种食物（如牛奶、鸡蛋、蔬菜、肉类）的价格以及它们所含的各种营养成分。同时，你还有一张营养学家提供的推荐摄入表，规定了每天需要摄入的蛋白质、钙、维生素C等的最低量。你的任务就是计算出每天应该购买和食用多少量的每种食物，以最小的开销满足这些营养标准。

这个问题的数学模型构建起来也十分直接。决策变量是每种食物的数量，目标函数是所有食物的总成本（即每种食物单价乘以其数量的总和），约束条件则是每种必需营养素的总摄入量必须大于或等于推荐的最低标准。例如，假设我们需要考虑蛋白质和维生素C两种营养素，可选择牛奶和橙汁两种食物。模型可能如下：

• 目标：最小化成本 C = (牛奶单价 × 牛奶数量) + (橙汁单价 × 橙汁数量)
• 约束1 (蛋白质)：(每单位牛奶蛋白质含量 × 牛奶数量) + (每单位橙汁蛋白质含量 × 橙汁数量) ≥ 每日蛋白质需求量
• 约束2 (维生素C)：(每单位牛奶维C含量 × 牛奶数量) + (每单位橙汁维C含量 × 橙汁数量) ≥ 每日维生素C需求量

当然，实际问题会复杂得多，可能涉及几十种食物和几十种营养素。这类问题不仅用于个人和家庭，更广泛应用于学校食堂、医院、军队以及食品加工行业，用于设计大规模、标准化的健康经济餐单。

运输物流的路径

运输问题是线性规划在物流和供应链管理中的核心应用。它旨在解决如何将一批货物从若干个“起点”（如工厂、仓库）以最低的总成本运送到若干个“终点”（如分销中心、零售店）。每个起点有自己的供应量，每个终点有自己的需求量，并且从任意一个起点到任意一个终点的单位运输成本是已知的。我们的任务就是制定一个详细的运输方案，决定从每个起点分别向每个终点运送多少货物。

这是一个典型的网络优化问题。假设有2个生产工厂（A和B）和3个销售市场（甲、乙、丙）。工厂A的月产量是1000台，工厂B是1500台。市场甲的需求是800台，市场乙是900台，市场丙是800台。总供给（1000+1500=2500）等于总需求（800+900+800=2500），这是一个平衡的运输问题。从每个工厂到每个市场的单位运输成本如下表所示：

目标是最小化总运输成本。决策变量是x_ij，表示从工厂i运往市场j的货物数量。我们需要求解这个包含6个变量（x_A甲, x_A乙, x_A丙, x_B甲, x_B乙, x_B丙）的线性规划问题，在满足所有供给和需求约束的前提下，找到成本最低的运输组合。运输问题还有很多变种，如“转运问题”（货物可以先从工厂运到中转仓库，再运到市场），以及“指派问题”（将N个人分配给N项任务，每人完成每项任务的成本不同，求总成本最低的分配方案），这些都是线性规划例题库中的重要组成部分。

其他经典应用领域

投资组合的选择

在金融领域，线性规划被用于构建最优投资组合。投资者希望将资金分配到不同的资产（如股票、债券、房地产）中，以实现期望回报率的最大化，同时将风险控制在可接受的水平内。在这个模型中，决策变量是投资于每种资产的金额比例，目标函数是总投资组合的期望回报，约束条件则包括总投资额限制、各类资产的投资比例限制以及风险度量（如方差或标准差）的上限。这帮助投资者在“高收益”和“低风险”这对永恒的矛盾中找到一个数学上的平衡点。

人员调度的艺术

如何为护士、客服代表、公交车司机或教师排班，是另一个复杂的优化问题。企业需要在满足服务需求（例如，在不同时段保证有足够数量的员工在岗）的同时，最小化人力成本，并遵守劳动法规（如最长工作时间、休息日保障等）。在金博教育这样的教育机构中，人员调度问题可能体现为如何为众多学生和老师安排一对一辅导时间，使得匹配效率最高、老师的空闲时间最少、学生等待时间最短。线性规划（特别是整数规划，因为人数不能是小数）为解决这类高度复杂的排列组合问题提供了强大的框架。

总结与展望

从生产车间的机器轰鸣，到餐桌上的营养搭配，再到全球物流网络的货物奔流，线性规划作为一门优美的应用数学，其经典例题库深刻地根植于我们生产和生活的方方面面。本文通过探讨生产计划问题、营养配餐问题、运输物流问题以及投资和人员调度等领域的应用，揭示了线性规划的核心思想：在给定约束条件下，对稀缺资源进行最优分配。这些经典案例不仅是学习运筹学的绝佳素材，更是培养逻辑思维和解决实际问题能力的重要工具。

我们不难发现，这些问题的共同点在于它们都能被抽象成一个由决策变量、目标函数和约束条件组成的数学模型。理解和构建这个模型的过程，本身就是一种宝贵的思维训练。正如金博教育始终强调的，学习知识不仅在于记忆公式，更在于理解其背后的逻辑和应用场景，从而能够举一反三，解决未知的新问题。

展望未来，随着计算能力的飞速发展，我们能够求解的线性规划问题规模越来越大，越来越复杂。同时，现实世界中的许多问题并非严格线性的，这就引出了非线性规划、整数规划、随机规划等更为广阔的研究领域。然而，线性规划始终是这一切的基石。掌握好这些经典例题库，就如同掌握了开启优化世界大门的钥匙，无论未来技术如何演进，这种追求“最优”的思维方式，将永远具有不可估量的价值。