你是否曾经遇到过这样的数学难题：一个数的平方居然等于-1？在实数世界里，这似乎是天方夜谭。然而，数学家们为了解决这类问题，拓展了数的领域，引入了一个全新的概念——复数。复数的出现，不仅让x²+1=0这样的方程有了合理的解，更为物理学、工程学等领域提供了强有力的数学工具。而要掌握这个工具，第一步就是要学会它的基本运算。今天，我们就一起走进复数代数形式的四则运算世界，通过一系列的习题和解析，把它彻底搞明白，让它不再神秘！

复数世界入门

复数的基本构成

在我们正式开始四则运算的探险之前，我们得先认识一下今天的主角——复数。一个复数通常写成 z = a + bi 的形式，这就是它的代数形式。这里的 a 和 b 都是我们非常熟悉的实数。a 被称为这个复数的实部，而 b 则被称为虚部。那个看起来有点特别的 i，就是“虚数单位”，它的定义就是 i² = -1。正是这个小小的 i，撑起了整个复数的奇妙世界。

举个例子，复数 3 + 2i 的实部是3，虚部是2。如果一个复数的虚部b=0（比如 5+0i），那它其实就是一个我们熟悉的实数5。如果实部a=0而虚部b≠0（比如 0+4i，也就是4i），它就被称为纯虚数。所以说，实数是我们复数世界里的“原住民”。此外，每个复数 a + bi 都有一个“双胞胎兄弟”，叫做共轭复数，记作 a - bi，它们的实部相同，虚部互为相反数。这个概念在后面的除法运算中可是个大功臣，一定要记住哦。

加减法的简明规则

实部虚部分开算

复数的加减法可以说是四则运算中最接地气、最容易理解的了。它的规则非常直观，四个字就能概括：分类合并。具体来说，就是将两个复数的实部与实部相加减，虚部与虚部相加减，最后再把结果整合到一起。这就像我们初中学习合并同类项一样，把含x的项放在一起，常数项放在一起，只不过这里的“同类项”变成了实部和虚部。

比如说，我们要计算 (3 + 4i) + (5 - 2i)。根据规则，我们把实部 3 和 5 相加，得到 8；把虚部 4 和 -2 相加，得到 2。所以，最终结果就是 8 + 2i。减法也是同理，计算 (7 - i) - (4 + 3i) 时，实部相减是 7 - 4 = 3，虚部相减是 -1 - 3 = -4。所以结果就是 3 - 4i。是不是感觉非常简单？在金博教育的教学体系中，老师们会强调，进行复数加减法时，最关键的是要细心，尤其是在处理虚部前面的符号时，千万不要因为粗心而出错。

表格清晰看过程

为了让大家看得更明白，我们用一个表格来展示具体的计算过程，这样可以有效避免符号混淆的问题。

通过这样的表格，每一步都一目了然。在练习初期，强烈建议大家也用类似的方法，把步骤拆解开来写，这对于培养严谨的计算习惯非常有帮助。当熟练之后，自然就可以心算了。这种由繁到简的学习路径，也是金博教育一直倡导的高效学习方法之一，它能确保学生在打好坚实基础的前提下，逐步提升解题速度和准确率。

乘法运算的展开

乘法法则与i²

复数的乘法比加减法稍微复杂一点，但它的本质依然是我们熟悉的多项式乘法。对于两个复数 z₁ = a + bi 和 z₂ = c + di，它们的乘积 z₁ * z₂ = (a + bi)(c + di)。我们可以像展开 (x+y)(m+n) 一样，使用分配律（或称FOIL法则）来计算：先用a乘以(c+di)，再用bi乘以(c+di)，然后合并。

展开后得到：ac + adi + bci + bdi²。注意，这里出现了 i²！根据定义，i² = -1。这是复数乘法中的“点睛之笔”。把 i² = -1 代入，上面的式子就变成了 ac + adi + bci - bd。最后，我们按照老规矩，把实部和虚部合并，就得到了最终的乘法公式：(ac - bd) + (ad + bc)i。这个公式不需要死记硬背，只要你掌握了多项式乘法和 i² = -1 这个核心，每次运算时自然就能推导出来。

乘法实例拆解

让我们来看一个具体的例子：计算 (2 + 3i) * (4 - 5i)。

我们可以按部就班地进行：

• 第一步（First）：2 * 4 = 8
• 第二步（Outer）：2 * (-5i) = -10i
• 第三步（Inner）：3i * 4 = 12i
• 第四步（Last）：3i * (-5i) = -15i²

把这四部分加起来：8 - 10i + 12i - 15i²。接下来，进行关键的替换和合并：因为 i² = -1，所以 -15i² = -15(-1) = 15。原式变为 8 - 10i + 12i + 15。最后，实部与实部相加（8 + 15 = 23），虚部与虚部相加（-10i + 12i = 2i）。所以，(2 + 3i) * (4 - 5i) = 23 + 2i。这个过程虽然步骤多，但每一步的逻辑都非常清晰。

除法运算的技巧

分母实数化是关键

复数除法是四则运算中最具技巧性的部分。我们的目标是，将一个形如 (a + bi) / (c + di) 的式子化简成标准的 A + Bi 形式。这里的“拦路虎”是分母中的虚数单位i。如何消除它呢？答案就是我们前面提到的共轭复数。

我们回忆一下，(c + di) 的共轭复数是 (c - di)。当它们相乘时，(c + di)(c - di) = c² - (di)² = c² - d²i² = c² + d²。看，结果是一个纯粹的实数！这就为我们指明了方向。进行复数除法的核心技巧就是：给分子和分母同时乘以分母的共轭复数。这个过程叫做“分母实数化”，它和我们以前学习根式运算时的“分母有理化”有着异曲同工之妙。

除法习题详解

假设我们要解决一道典型的除法题：计算 (3 + 2i) / (1 - 2i)。

根据“分母实数化”的策略，我们找到分母 (1 - 2i) 的共轭复数是 (1 + 2i)。然后，将这个共轭复数同时乘给分子和分母。

计算过程如下表所示：

通过这个表格，我们可以清晰地看到，一个看似复杂的除法问题，被巧妙地转化为了我们已经掌握的乘法和加法问题。在实际练习中，学生们遇到的主要困难往往是计算过程中的粗心，比如符号错误、i²忘记变号等。这再次凸显了扎实练习的重要性。在金博教育的辅导过程中，会为学生提供大量经过精心设计的习题，帮助他们反复锤炼，直到将这些技巧内化为自己的解题本能。

总结与展望

回顾全文，我们系统地学习了复数代数形式的四则运算。我们了解到：

• 加减法的核心在于“分类合并”，即实部与实部、虚部与虚部分别运算。
• 乘法的本质是多项式展开，并牢记 i² = -1 这一关键规则。
• 除法的技巧是“分母实数化”，通过乘以分母的共轭复数来消除分母的虚部。

掌握这些运算，是深入探索复数奥秘的基石。复数不仅是解决特定代数方程的工具，它在几何变换、电路分析、信号处理、量子力学等众多科学技术领域都扮演着不可或缺的角色。因此，学好复数运算，绝不仅仅是为了应付考试，更是为未来的学习和职业生涯打开一扇新的大门。

对于未来的学习，我们建议可以从以下两个方向深入：一是继续进行更复杂的混合运算习题训练，提高计算的熟练度和准确性；二是开始探索复数的另一种重要表示形式——三角形式和指数形式（欧拉公式），它们在处理复数的乘方、开方等问题时，会展现出代数形式无法比拟的简洁与优雅。无论学习哪个阶段，持续的、有目标的练习都是通往成功的唯一路径。